Thèse Etude Théorique et Numérique de Systèmes de Schrödinger Non Linéaires avec Impuretés H/F - Doctorat.Gouv.Fr

Établissement : Université de Reims Champagne - Ardenne École doctorale : MPSNI - Mathématiques Physique Sciences du Numérique et de l'Ingénieur Laboratoire de recherche : Laboratoire de Mathématiques de Reims Direction de la thèse : Laurent DI MENZA Début de la thèse : 2026-10-01 Date limite de candidature : 2026-04-30T23:59:59 Ce projet de thèse a pour but d'étudier des systèmes de Schrödinger avec impuretés, qui s'écrivent sous la forme
i tU + U + Z U + F(U)=0, t>0, x n
dans lesquels U=U(t,x) désigne une fonction vectorielle à valeurs dans p , où est le laplacien, où est la mesure de Dirac relative à l'hypersurface , où Z est appelée amplitude du défaut et où F est une fonction non linéaire en les composantes de U. On se place ici en dimension d'espace n.
L'étude proposée ici est à la fois théorique et numérique. L'objectif dans un premier temps est de considérer une approximation du terme de défaut par un terme régularisé plus facile à appréhender. Pour cela, on part du système linéaire
(S) i tV + V + ZV=0, t>0, x n
et il faut disposer d'estimations d'erreur entre la solution V du système régularisé noté (S) où le terme singulier est remplacé par un potentiel régulier à support compact ( étant le paramètre de régularisation lié à la taille du support) et la solution V de (S). Ceci passe par des estimations fines du semi-groupe vectoriel de Schrödinger conduisant à des inégalités du type
V - V Cp.
Il faudra ensuite montrer que l'ajout de la non-linéarité n'a pas d'influence sur l'ordre de convergence dans l'estimation précédente. Cela justifie l'intérêt de cette approximation par régularisation car celle-ci se prêtera bien à l'utilisation de méthodes numériques classiques.
Par la suite, il conviendra de comprendre la dynamique de la solution en présence du terme de défaut. Contrairement au cas des équations scalaires, il peut y avoir des effets d'interaction donnant lieu à des comportements plus complexes du fait des non-linéarités couplant les différents champs. Il est nécessaire de disposer dans un premier temps de résultats d'existence et d'unicité des solutions du problème de Cauchy, en utilisant des techniques classiques de type point fixe pour une formulation faible du problème passant par des estimations de type Strichartz. Il faut également pouvoir comme dans le cas scalaire obtenir des conditions suffisantes d'explosion en temps fini par des techniques de Viriel. Au-delà de l'intérêt mathématique, un résultat sur le problème de Cauchy assure la robustesse du modèle mathématique considéré.
Enfin, on abordera la question de calcul d'états stationnaires pour ces modèles. Dans ce but, il est tout d'abord nécessaire de développer un algorithme numérique fiable pour le calcul de ces états en présence ou non de défauts. Plusieurs pistes sont envisagées pour le calcul de ces solutions : les méthodes de tir qui ont déjà donné satisfaction dans le cas des équations scalaires, des méthodes de réduction en dimension finie couplée à des algorithmes de type Newton et des méthodes de continuation de paramètres. Il s'agira ensuite d'étudier théoriquement et numériquement la stabilité de ces états, i. e. leur persistance au cours de leur propagation temporelle. Il est à signaler que la présence du défaut empêche des symétries, ce qui peut modifier les techniques mises en oeuvre : en effet, la stabilité orbitale dans le cas sans défauts correspond à une stabilité modulo les translations et les changements de phase. Par la suite, on va effectuer des simulations numériques temporelles, rendant nécessaire le fait d'avoir recours à des schémas numériques performants pour la simulation de ces modèles sur des grandes échelles de temps. Les schémas aux différences finis (déjà utilisés précédemment) constituent un bon compromis entre la simplicité d'utilisation et une grande précision. Pour des simulations faisant intervenir des défauts non rectilignes, on pourra utiliser des méthodes d'éléments finis en choisissant des domaines élémentaires qui épousent localement à l'ordre 1 la géométrie du défaut. La question sous-jacente est de savoir dans quelle mesure la courbure du défaut peut influencer la dynamique des solutions.

La candidate ou le candidat sera déjà familiarisé(e) aussi bien avec l'analyse des équations aux dérivées partielles que l'analyse numérique et l'implémentation de schémas sur machines. La connaissance des équations de Schrödinger non linéaires n'est pas une obligation mais pourra constituer un plus.